这次咱们开一个新的专辑，就从数学的起源讲起。

我小时候在看伽莫夫写的著名科普作品《从一到无穷大》，一开篇，伽莫夫就讲了一个笑话。说的是两个贵族决定做一次数数游戏——谁说出的数字大谁赢。一个贵族说，“好，你先说吧！”。另一个贵族绞尽脑汁想了好几分钟，最后说出了他所想到的最大数字：“3”。现在轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了一刻钟以后，他表示弃权说：“你赢啦！”。大概是因为文化的问题，我是笑不出来，所以伽莫夫的笑话也就成了个“冷笑话”。但是你以为这真是的是个冷笑话吗？其实并不是。在我们居住的地球上，还真的存在这样一个部族，他们最大只能数到 2，再大就搞不清了。这个部族就是生活在亚马逊雨林里的皮拉哈人。

这个部族很小，大概只有 200 人左右。他们主要就是以狩猎、打渔和农业为生，跟现代文明几乎是绝缘的。奇怪的是，这个部族的语言系统之中基本没有数字，他们日常只会说1、2、很多。美国哥伦比亚大学的行为生物学学者彼得·戈登对这个部族进行了研究。他设计了一系列实验，比如拿出几块电池，然后让这个部族的受试者拿出相同的数量，如果只涉及到两三块电池，那么基本没问题，但是数字往上增加的时候，他们的成绩就急剧下降，错误百出。你很难想象，连这么简单的事儿，他们都搞不定。

▲皮拉哈部族

随着研究的深入，大家发现，即便是他们嘴里的 1 和 2，也不是一个精确的数字。在他们概念里，1 代表几个，2 代表多一些，再往上就是“无法估量”。因为他们这个部族对数字没什么概念，这也影响到了他们的手工艺水平，其他部族做出来的项链都是对称的，中间一颗大珠子，两边是相同数量的小珠子。皮拉哈人到好，一边儿一个一边儿仨，完全没有对称可言。

当然，研究学者绝对不是最早发现这个现象的人，丛林里其他部族的商贩早就发现了皮拉哈人的这个特点，在跟他们做生意的时候，就把人家皮拉哈人往死里坑啊，谁叫他们不识数呢。但是，我们要强调，尽管他们不太会数数，但是这并不耽误人家生存繁衍，生活之中需要用到确定数字的地方其实并不多。对于身处工业化时代的我们来讲，数字是无处不在的。早上 9 点钟上班，你总不能迟到吧？地铁坐 1 号线还是 4 号线，你不能弄混了吧？但这也只是进入工业化时代以后，数字才会变得这么重要。对于原始人类来讲，能够需要用到数字的地方实在太少了。当你面对一只狼的时候，你可能不需要怕它。面对两只狼的时候，你可能就要掂量掂量能不能打得过这两只，当你面对两只以上的狼群的时候，你根本就不用操心数量，操心也没用，大概率你会成为它们的下午茶，搞清楚到底有几只狼对你来讲没有意义。老子为什么说“三生万物”？看来，我们的祖先也可能经历过不识数的阶段。就像是皮拉哈人一样，3 和无穷大在哪个时代的人脑子里或许就是无法区分的。只是后来，我们跨越的那个阶段。但是在语言习惯里留下了一点痕迹。

正因为有皮拉哈人的存在，我们不得不好好地反思一下，究竟是语言决定思维还是思维决定语言？这在过去是一个长期争论不休的问题。语言学家本杰明·沃尔夫就提出了一个假说，那就是语言可以决定我们的思维方式和思考的内容。皮拉哈人的语言就为这个假说提供了重要的证据。当然，沃尔夫假说依然只是个假说，未来这方面的争论还会继续下去。 

我们知道，数字起源很早，甚至早于文字。人有 10 个手指头，就算是比比划划，也能表达一些数字概念。算上脚指头起码有 20 个指头，那时候反正也不穿鞋，脚指头也能一眼就看见。对早期人类来说，日常生活也够用了。要是处理更大的数字呢，古人会用堆石头的办法来处理，有些部族没有文字，他们就是这么干的，5 个石头放一堆。他们已经习惯了使用 5 的倍数来分割数字。因为人有 5 个手指头，这也是用手指头计数的习惯延伸。

实际上，根据现代的研究，在 5 进制和 10 进制之前，人类还曾经使用过 2 进制和 3 进制。但是最后还是都败给了 5 进制和 10 进制。对亚马逊几百个部落的统计研究表明，将近 1/3 的人在使用 10 进制，另有大约 1/3 的人在使用 5 进制或者 5 进制和 10 进制混合使用，剩下的不到 1/3 的人在使用 2 进制，而那些使用 3 进制的人则不到 1%。20 进制出现在大约 10% 的部落中。

当然用石头来计数实在是一种不可靠的方法，手一抹数字就全没了，只剩下一大摊石头子儿。史前人类喜欢在一根木棒或者是一块骨头上划下刻痕，用这种方法来记录数字。当然，木头棍是会烂掉的，这些棍子能够保留至今的寥寥无几，骨头倒是能保存长久一些。人们在欧洲找到了一块来自幼狼身上的骨头，上面深深的刻下了 55 道刻痕，而且这些刻痕被排列成了两串，第 1 串 25 道，第 2 串 30 道，每一串刻痕之内，又按照 5 个一组的方式排列。这也就说明，数字的起源非常早。这块骨头起码有 3 万年的历史了。

还有一些其他方面的旁证，这些痕迹都保留在人类的语言里。比如说英语里 11 和 12 这两个单词的起源，实际上是指“剩余 1”、“剩余 2”，这个剩余是什么意思呢？其实就是进位的余数。数字超过 10 了，多出 1，多出 2。这明显就是 10 进制的表现。

也有人说，印欧语系的语言之中，8 这个单词其实来自于 4 的倍数形式，这实际上是 4 进制的残余，拉丁文的 9 这个单词可能和“新”这个单词是关联的，意味着新序列的开始。这可能是 8 进制的痕迹。这也说明 4 进制和 8 进制计数法曾经存在过一段时间，后来被 10 进制给代替了。80 这个数字在法语里表达成 4 个 20，看来应该是 20 进制的残留。

我们也都知道，有数字不等于有数学，这完全是两码事。至于最早的数学诞生于何处，我们依然要依靠考古发现。我们都知道，古代的尼罗河河谷和美索不达米亚地区是一个发展比较早的文明圈。而且这两个地方的距离也比较近，相对来讲，古印度和古代中国就远了点。

进入到文明时代，那也意味着会出现政府机构。政府机构一旦出现，那么就需要某种组织形式，而且也需要统计生产活动的数量。这个村子到底有多少人口啊？到底有几亩地呀？你作为一个村长，总不能一笔糊涂账吧，难免就要做简单的加减乘除。所以现代人推测，很有可能就是在人类逐渐走向文明的过程中产生了数学。

古埃及人喜欢用墨水在莎草纸上书写。这种东西就是把纸莎草外皮剥掉，然后切成薄片，经过浸泡、敲打、晾晒，最后变成了莎草。纸莎草很长，能有好几米，所以一次可以做出很长的一条莎草纸，卷起来就是手卷。制作过程还是比较简单粗暴的，莎草纸的纤维最后会互相缠绕在一起，形成比较光滑的平面。当然这种纸和今天我们所用的纸张是不能比的，也不太容易保存。资料即便被有幸保留下来，往往也跟数学没多大关系。所以有关古埃及数学的直接资料就相对比较少了。欧洲人看到古埃及文字的时候，他们是一脸蒙圈，他们根本就不知道这些文字到底写了些什么。有些符号比较好认，比如说一只展翅高飞的鸟，一只猫头鹰，还有一大卷绳子，一根拐杖，诸如此类的符号非常多。欧洲人先入为主的认为古埃及文字一定是象形文字。后来法国人在古埃及发现了一块黑色玄武岩刻成的石碑。上面刻着三段文字，第 1 段就是古埃及的圣书体，第 2 段是世俗体，第 3 段是古希腊文。这三段文字记录的都是同一件事，完全是对照关系。

虽然古埃及的圣书体和世俗体，欧洲人都不认识。但是古希腊文，欧洲还是有人认识的。这也就为破译古埃及文字提供了非常大的帮助。在这方面做出最大贡献的是法国的商博良。这个商博良为什么能取得这么大的突破呢？除了他对各国的文字都很熟悉以外，他发现古埃及文字不是象形文字而是字母文字。从此古埃及那些看上去稀奇古怪的符号文字，可以慢慢被解读出来了。

到了 19 世纪，有一个律师叫莱茵德，他跑到埃及来过冬，因为干燥炎热的天气对治疗他的结核病有点好处。他在卢克索偶然买到了一打捆莎草纸卷，展开有 5 米多长，宽度是 33 厘米。知道的这是莎草纸，不知道的以为是卷筒纸呢。这一堆纸卷被证明是全埃及乃至全世界最大的古代数学文本，现在被保存在大英博物馆，这个纸卷被称为《莱茵德纸草书》。从这儿我们大概可以搞清楚古埃及人的数学水平到底如何。现在我们知道古埃及人用了两个计数系统，一个是刻在石头上的，一个是写在纸上的。这两个技术系统用的都是十进制。1 就是竖着来一道，这倒也没什么稀奇的，咱们中文是横着来一道。用一个拱门来表示十，就是把大写字母U倒过来。用一个螺旋线来表示百，当然你也可以说成一坨屎。用一朵花表示千，用一根手指头表示万。用一只鸟或者一只癞蛤蟆来表示 10 万。用一个跪着的人来表示 100 万或者更大。难怪这套符号系统会让欧洲人看不明白。天知道埃及人的脑筋是怎么搭的，谁能从癞蛤蟆联想到 10 万这个数字呢？难道尼罗河里的癞蛤蟆有 10 万？所以古埃及的数字写起来就麻烦得不得了。57 这个数字写成古埃及数字，就得连画 5 个大门，外加 7 根竖棍，写出来是好长的一大串儿。

人类最早脑子里只有整数的概念，毕竟这符合日常的习惯。古埃及人已经产生了分数的概念。把一个东西平均分成几份，好像也是一个比较常见的需求。所以古埃及人专门发明了一个符号表示“n 分之 1”。这东西形状像一个横着的枣核。也有人管这个符号叫眼睛，但是中间没眼珠子，还是叫枣核比较合适。这个枣核一样的符号写在上面，下面画三道，那就是 1/3。画四道那就是 1/4。下面画个大门那就是 1/10。因为这个符号的含义就是“n 分之 1”。所以 2/5 这种分数，它就没法表示了。不得以，最常见的 1/2、2/3、3/4，古埃及人都发明了专门的符号去表示。其实用专门的词汇去表达 n/1 的概念，我们现代汉语里面也有。您去吃牛排，服务员也会问您，您要几成熟啊？这个“成”到底是什么意思呢？就是 1/10 的意思。这么说方便嘛，你要是不用这种表达方式。服务员问您牛排要几成熟啊？你跟人家说 22/7，他当时就懵了。但是对于 5/8 这种分数来讲，古埃及人就必须表达成 1/2+1/8，把任意分数写成若干个 n/1 相加的形式，就叫做“埃及分数”。由此可见，这种数字系统并不是为了数学计算考虑的，而是为了实用化。比如说，8 个人分 5 张饼，你怎么能够保证分得均匀呢？你要是分赃不均，那就打起来了，这多不好啊。怎么办呢，咱们把 5/8 写成埃及分数，也就是 1/2+1/8，也就是每个人得到半张饼，外加八分之一张饼，这不就完事儿了嘛。

因为古埃及的文字表达数字非常的长，表达分数也得写成一大串“埃及分数”。所以做算术计算就比较麻烦，《莱茵德纸草书》之中有很长的一截是数表，说的直白点，大部分是乘法表。计算的问题就变成查表解决了。纸草书上还有 84 道习题，说不定就是古埃及的某个衙门训练“钱粮师爷”用的工作手册。比如说，纸草书上有这么一个问题：有 7 个房间，每个房间里有 7 只猫，每只猫抓 7 只老鼠，每只老鼠要吃掉 7 穗谷物，每穗谷物若被播种，能收获 7 加仑粮食，请问本题中提及的东西的总数量？有人说这不是脑筋急转弯嘛。这可不是脑筋急转弯儿，这就是古埃及衙门里的日常工作。埃及社会极为复杂，因此需要监督建筑工程、安排付款、管理食物供应、计划军队调动、计算尼罗河洪水什么时候泛滥。想要成为钱粮师爷，在衙门里混口饭吃，那就必须展现你的算数能力。在这样的教材训练下，埃及人的数学水平广受古代社会的推崇。联想到咱们中国古代，《九章算术》也是类似的题目和算法的集合，但是上边也没写到底这些计算方法是怎么推导出来的。从实用角度出发，这是不必要的。你会算就行了，别的别问那么多了。

▲《九章算术》

美索不达米亚所在的两河流域走马灯一样被翻腾了好多次，最早是苏美尔人，后来出现了巴比伦、亚述、波斯，马其顿-希腊。从这里挖出了不少的泥板，有关数学的内容很多都是学生学习用的课本，这就和埃及有很大不同了。

首先美索不达米亚也有和古埃及类似的公务员，政府部门总要有人抄抄写写，顺便算算账。所以很多数学著作都是有关具体问题的计算方法。但是似乎这些公务人员们并不满足于日常的计算。他们在掌握一个方法以后，就会到处用，甚至是自己编一些抽象的题目去做，这些题目就和现实需求没多大关系了。他们就是要显示自己的数学技艺。从目前发现的资料去看，他们使用的是 60 进制。我们现在的钟表就基本遵循六十进制。一个小时是 60 分钟，一分钟是 60 秒，这个计算方法就是来自于两河流域。他们的几何学知识也是来自于大地测量，这一点是和古埃及一样。

按照古希腊的历史学家希罗多德的说法，几何学的开端就是大地测量。听过我讲探寻尼罗河之源专辑的听众一定知道，尼罗河的上游是青尼罗河与白尼罗河，青尼罗河发源于埃塞俄比亚高原，当地的气候分旱季和雨季，因此一到雨季青尼罗河的水位就暴涨。下游尼罗河的水位也会跟着涨，下大雨毕竟下在别处，水是慢慢流过来的，因此到了下游，尼罗河的水位是慢慢淹没河两岸的大片土地。等到大水退去，留下大量含有营养的淤泥。每当尼罗河泛滥，原先的土地标记就不见了，需要重新测量才行。所以在古埃及，大地测量就是家常便饭。测量土地的人叫做操绳师，大家听着是不是耳熟啊，别想歪了。可不是嘛，那时候搞测量，不用绳子测量长度，你用啥呢？你打算用激光笔，那时候没有啊。古希腊的原子论大师德谟克利特曾经夸口，这些操绳师都精通几何学，再努力努力，再学习学习，再加加班，再熬熬夜……那就赶上我了。闹了半天，他还是在夸自己。他比这些测量员强的地方就在于，他会搞证明，而不仅仅是计算。不过呢，这是后话了。

其实美索不达米亚和印度的几何学知识的起源也是大地测量。印度甚至还有一本《绳法经》，讲的就是测量的问题。尼罗河的这种周期性的泛滥很有规律，古埃及人通过观察天狼星来判断泛滥的时间。天文观测其实也是数学的一个重要的来源。一般来讲，一门学问的发展初期，都是从直观积累开始的。但是，似乎古希腊的数学传统有点另类。古希腊的学者们不怎么关心大地测量。他们似乎比美索不达米亚的那些公务员们走得还要远。

古希腊和现代的希腊不是一码事，我们所说的古希腊通常是指以古希腊语作为主要语言的地区。这个范围可就广了。甚至包括埃及的北部，也包括意大利的一部分。古希腊的学者们似乎相信，天地之间是有天道的。几何学与天文和立法相关，也一定是与天道相关。天之道，能被人类窥破吗？似乎“数”这个东西，上通天文，下通地理啊。所以，到了毕达哥拉斯学派，他们提出一个观念，那就万物皆数。一切都从数之中诞生出来的。你可能对这个观念不太理解，怎么就“万物皆数”了呢？咱们的老子不是讲过嘛，“道生一，一生二，二生三，三生万物”，兜了一个圈子，又绕回到这里了。当然啦，老子的思想和毕达哥拉斯的思想还是不一样的。但是，感觉是相通的。我们对数字似乎也是很崇拜的，两仪四象生八卦，这是偶数。三才、五行、七星、九宫这都是奇数。这些数字也很神秘哦。

我们中国有五行学说，古希腊有四元素说。我们讲金木水火土，人家是水火土气。但是，毕达哥拉斯说了，有形的东西都是水火土气构成的，无形的东西呢？正义、灵魂、理性……，这些东西也是万物之一啊。毕达哥拉斯认为，数才是万物的本源，由数生出点、线、面，点线面生成物体，由体对应水、火、土、气。正四面体对应的是火，正八面体对应的是气，正二十面体对应的是水，正六面体对应的是土。这都是有对应关系的。四元素说也有很多版本，柏拉图的版本和亚里士多德就有区别，后来还有人要把以太加上，就变成 5 元素了，再加上冷热干湿，这也是元素哦。反正各种说法都是有的。

古人为啥对数字这么看重呢？因为数字是人类最早抽象出来的一个观念。你放眼大自然，存在数字吗？没有啊，数字是你从万事万物之中抽象出来的。“天地人三才”和“魏蜀吴三国”，这里面有啥联系？没联系，挨不上。唯一的共性是你提炼出来的这个“三”。古代人类掌握了抽象提炼的本事，总结出了一点点规律，他们就以为这些规律就是万事万物的本源，就开始到处乱用。你要记住，他们是古人，他们的知识结构和我们不一样，他们的知识体系和我们也不一样，那时候也不分什么文科理科，也不分物理化学，一切学问都是混在一起的。数是符号还是实体？实际对他们而言是没有区别的，一码事。就在古希腊人以为自己窥破天道的时候，他们突然发现，他们自己给自己挖了个坑，这个坑是永远也填不上的。我们下次再说。

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